a16z：AMM LP コストを測定する新しい方法 LVR の詳細解説

原文作者：Jason Milionis、コロンビア大学コンピュータサイエンス博士；Cimac Moallemi、コロンビアビジネススクール教授；Tim Roughgarden、a16z crypto研究責任者、コロンビア大学コンピュータサイエンス教授およびデータサイエンス研究所のメンバー；Anthony Lee Zhang、シカゴ大学ブースビジネススクール金融学助教授

出典：《 LVR: 自動マーケットメイカーに流動性を提供するコストの定量化》

原文翻訳：Babywhale、Foresight News

自動マーケットメイカー（AMM）には2種類の参加者がいます：1つはトレーダーで、あるトークンを別のトークン（例えば、ETHとUSDC）に交換します；もう1つは流動性提供者（LP）で、AMMにトークンの流動性を提供して取引手数料の一部を得ます。

LPとして参加することが経済的に意味を持つのはいつでしょうか？利益がコストを上回るのはいつでしょうか？LPの利益は取引手数料から得られ、場合によっては追加のトークン報酬もあります。本記事では、私たちがLVR（相対損失再バランス、Loss Versus Rebalancing）と呼ぶ新しい計算方法をまとめます。以下でLVRとそのLPおよびAMM設計への影響について詳しく説明しますが、まずはAMMが市場価格の変動時にどのように機能するかを振り返りましょう。

AMMにおけるアービトラージと「逆選択」

自動マーケットメイカーのLPは逆選択によって損失を被る可能性があり、これはLPになることの主要なコストの1つです。流動性を提供することは、既定の価格で取引を行う任意の当事者（買い手または売り手）に対して、AMM内の各LPがより良いまたはより即時のトークン価格情報を持つトレーダーの対手方になるリスクを冒すことを意味します。

例えば、公開市場でETHの価格が突然上昇した場合、迅速なアービトラージャーはAMMからETHを（古い低価格で）購入し、その後、Binanceなどの中央集権的取引所で（新しい高い市場価格で）再販して利益を得る可能性があります。AMMには2種類の参加者しかいないため、トレーダーの利益はLPの損失に対応します。

LPのコストを推論し、LPの参加決定とAMM設計に情報を提供するために、過去の単純な問題を評価することから始めます。ETH-USDC AMMに流動性を提供したばかりだと仮定しましょう。1 ETHと1000 USDCをAMMに預け入れ、引き出すときに0.5 ETHと2000 USDCを受け取ったとします（ほとんどのAMMでは、受け取るものは投入したものとは異なる場合があり、これはAMMトークンの市場価格の変動に依存します）。

さらに、今月ETHの価格が上昇し、1ヶ月で1000ドルから4000ドルに跳ね上がったと仮定します。この場合、流動性を提供する決定は、預金時に2000ドルの価値を持つポートフォリオを引き出し時に4000ドルの価値に倍増させることになります。

AMMに流動性を提供することは、今月一定量のETHを保持することを含みます。ETHの価格が今月4倍になったことを考えると、事後的に見れば、ETHをいくらか保持することに関わるほぼすべての戦略はかなり良さそうに見えます。

しかし、より重要な問題は、AMM LPの具体的な戦略は「ETHをロングする」他のすべての方法と比較してどうなのかということです。同様に、ETH価格の変動によって生じる利益（または損失）を除外した場合、流動性を提供するという決定をどのように評価すべきでしょうか？

ETH価格が上昇する最も簡単な方法は、いくつかのETHを購入して保持することです。上記の例では、保持戦略は月末のポートフォリオ（依然として1 ETHと1000 USDCですが、現在ETH価格は4000ドル）を5000ドルの価値にし、AMMから引き出した金額よりも1000ドル多くなります。この1000ドルの差は、通常「無常損失」と呼ばれるものの一例です。

無常損失の例

無常損失は、LPの利益を基準戦略で得られる可能性のある利益と比較しますが、AMM LPが直面する逆選択コストを隔離することには失敗しています。これを理解するために、例を変更して、月初と月末のETHの価格がどちらも1000ドルであるとしましょう。この場合、ほとんどのAMMでは、初期の預金と同じトークンの組み合わせを得ることになり、無常損失はゼロになります。ETHの価格が月の間に変わらなかった場合でも、1000ドルに戻る前に上下に変動した場合でも、結果は同じです。

価格軌道における無常損失の独立性（初期値と最終値を除いて）は、疑わしいと感じるべきです。例えば、AMMのアービトラージについて議論してきましたが、トレーダーがLPの利益を犠牲にして利益を得ることになります。したがって、LPのコストはAMMのアービトラージ機会の数に応じて増加するはずであり、価格が変わらない（アービトラージなし）場合と価格が大幅に上昇する（大量のアービトラージ）場合の機会頻度は非常に異なるはずです。

LVRとは何か

私たちは、AMMのLPが負担するコストを考えるための新しい方法を提案しました。その中心的な指標をLVR（Loss Versus Rebalancing）と呼びます。LVRはさまざまな方法で解釈できますが、ここで強調するのは無常損失の代替としての側面であり、その計算方法はより詳細です。（LVRの別の解釈は、LPがETH価格のエクスポージャーを適切にヘッジした後の損失であり、もう一つの解釈はアービトラージャーが得られる最大の利益です。）

リバランシングはAMM特有のものであるため、Uniswap（v1およびv2）の有名な定数積マーケットメイカー（CPMM）の典型的な特例で紹介します。二重トークンCPMMは「x*y=k」曲線とも呼ばれ、x単位のETHとy単位のUSDCのように、2つのトークンの準備金を維持します。現物価格はy/xとして定義され、2つの準備金の市場価値を等しくする効果があります（この意味で、このようなAMMは効果的にリバランシング戦略を実行しています）。実際には、この現物価格は、2つのトークンの数量の積x*yを不変にする取引によって定義されます。

LVRは逐次取引の基礎で定義できるため、単一の取引を見てみましょう。1 ETHと1000 USDCを持つCPMMを考え、ETHの市場価格が突然1000ドルから4000ドルに上昇したと仮定します。私たちは、いくつかのアービトラージャーがCPMMから0.5 ETHを2000 USDCの有効価格で購入し、x*yを不変に保ちながら、現物価格を2000/0.5=4000 USDC/ETHに移動させると予想します（そして2つの準備金の価値は2000ドルになります）。

この時、リバランシングを参照して、1 ETHと1000 USDCの同じ初期投資ポートフォリオから始めます：CPMMの取引を複製します（つまり、0.5 ETHを売却します、CPMMと同様に）、しかし現在の4000ドルの市場価格で実行します（例えば、Binanceで）。この代替戦略によって得られるポートフォリオの価値はCPMMよりも1000ドル高く（5000ドル対4000ドル）、この取引のLVRは1000ドルとなります。

この例を続けて、ETHの価格が突然1000ドルに戻ると仮定しましょう。CPMMはすぐに元の状態1 ETHと1000 USDCに戻ります（アービトラージ後）、実際には同じ2000 USDCで0.5 ETHを再購入します。リバランシング戦略は取引を複製します（0.5 ETHを購入します）が、市場価格（1000ドル）で実行します。リバランシング戦略のポートフォリオの価値は現在CPMMよりも1500ドル多く（3500ドル対2000ドル）、2回目の取引はLVRに追加の500ドルを貢献しました。

この計算は直感的に合理的であり、無常損失とは異なり、LVRは価格軌道に依存します（価格が変わらなければLVRは0ですが、価格が上昇してから下落する場合はそうではありません）し、逐次累積します（各取引が誤った側で行われる可能性があり、追加の逆選択コストを引き起こします）。

LVRの一般的な定義

前の例を見て、LVRの定義は次のようになります：任意のAMM上の任意の取引シーケンスに対して、LVRはAMMを通じて行われた取引によって生じた損失の合計です。この合計の各項はa(p -- q)の形式であり、ここでaは取引で販売されるETHの数量（例えば、上記の最初と2回目の取引での0.5と-0.5）、pはその時の市場価格（上記の4000と1000）、qはAMM取引の単価（上記の2000と2000）を示します。

この定義は、逐次取引ではなく定期的（例えば、毎時または毎日）リバランシングに変えることもできます。この変化はLVRの実証分析を簡素化し、上記のLVRをヘッジする解釈をより自然にすることができます。

過去と未来の戦略に対する考察

LVRはLPが負担する逆選択コストを隔離しました。事後的に見て、流動性を提供する決定は良いアイデアだったのでしょうか？まず、この問題は、受け取った手数料がLVRを上回るかどうかに帰着します。したがって、通常は公開データ（例えば、AMM取引のオンチェーン記録やBinanceの歴史的価格データ）を使用して回答することが容易です。

未来のLPの意思決定を推論するためには、データに直接依存することはできず、価格がどのように変動するかの数学モデルを採用する必要があります（LVRは価格軌道に依存します）。さまざまなモデルを使用できますが、最も自然な選択はブラック-ショールズモデルであり、ETHの価格は幾何ブラウン運動に従って変動します。

このモデルに不慣れな場合、知っておくべき重要な点は、基本的に1つの重要なパラメータ、すなわち価格のボラティリティσがあることです。σ=0の場合、価格は変わらず、σが大きい場合は価格が激しく変動します。

LVRはこのモデルの中で正確に表現されます。LVRは逐次累積され、これは取引が常に発生する連続時間モデルであるため、LVRは瞬時LVRの積分として表現できます。瞬時LVRはσと現在の市場価格に指数関係を持ち、AMMがその価格で持つ限界流動性に線形関係を持ちます。

この数学的表現は少し恐ろしいと感じるかもしれませんが、多くの一般的なAMMは非常にシンプルであり、LVRは基本的な公式によって与えられます。

例えば、CPMMの場合、瞬時LVRはCPMMの市場価値で標準化されたとき、結果はちょうどσ²/8になります。もしUniswap v2 ETH-USDCプールの1日のボラティリティが5%であれば、私たちのモデルに基づいて、LPは毎日3.125ベーシスポイント（注：1ベーシスポイントは0.01%）のLVR損失を被ります（年間で約11%の損失）。取引手数料収入はこの損失を補うことができるでしょうか？答えは取引手数料と取引量に依存します。例えば、このAMMが固定の30ベーシスポイントの取引手数料を徴収する場合、LPは毎日の取引量がAMM資産の約10.4%であれば損益分岐点に達します。もし1日のボラティリティが10%であれば、必要な取引量は元の4倍になります。

AMM設計への示唆

LVRは潜在的な流動性提供者にとってだけでなく、AMM設計者にとっても重要です。AMMはLPが十分な利益を得ることができなければ成功しないため、手数料収入はLVRとともに拡大する必要があります。

私たちの研究からの1つの示唆は、LVRが取引量のボラティリティと手数料収入に依存するため、AMMは取引量、ボラティリティ、または観察されたLVRに応じて動的に調整される手数料を考慮すべきであるということです。もう1つは、AMM設計者は、より市場に近い価格を得るために高品質の価格フィードオラクルを組み合わせることによってLVR（およびそれに伴うLPインセンティブ）を最小化する方法を研究すべきであるということです。次世代のAMMはこれらの内容や関連するアイデアを探求しており、それらがどのように機能するかを見るのが待ちきれません。