Paradigm最新研究：Uniswapの金融錬金術
研究者は、Uniswapの流動性提供者（LP）が各アービトラージ取引で損失を被っても、特定の状況下ではボラティリティハーベストのおかげで単純にコインを保有するよりも良いパフォーマンスを発揮できると考えています。この場合、手数料の設定はできるだけゼロに近づけるべきですが、ゼロにはすべきではなく、できるだけ多くの再バランスを行うことが重要です。原文作者は、投資機関Paradigmの研究者Dave White、Martin Tassy、Charlie Noyes、Dan Robinsonであり、彼らはUniswapのシードラウンド投資者でもあります。
無情なアービトラージの下で、Uniswap LPは逆に富を得ることになった（出典）。
一、問題
10月14日、Charlie NoyesはTwitterに、彼とDan Robinsonがずっと議論していた問題を投稿しました：
「任意のUniswap資産ペアにおいて、最適な手数料はいくらですか？この最適な手数料は、バランスの取れていないポートフォリオを打ち負かし、無常損失を取り除き、さらには超過成長を実現できるのでしょうか？」
1、1 背景
自動化マーケットメイカー（AMM）は、USDCやETHのようなチェーン上の資産間で取引を行うことを許可する分散型取引所の一種です。UniswapはEthereum上で最も人気のあるAMMであり、ほとんどの資産管理システムと同様に、Uniswapは特定の資産ペア間の取引を促進するために、2つの資産の準備金を保持します。これにより、準備金の規模に基づいて取引価格が決定され、価格がより広範な市場と一致するようになります。
資産プールに参加する意欲のある人々を流動性提供者（LP）と呼び、彼らは2つの準備資産に資産を提供し、取引リスクの一部を負担することで手数料の一部を得ることになります。
1、2 設定の問題
この資産プールは、安定したコインと価格がランダムに変動するリスク資産の間で流動性を提供します。また、プールに入るすべての取引は情報に基づいているという特に厳しい仮定を立てています（アービトラージ取引はAMMの価格が通常の取引価格から外れたときにのみ発生します）。
言い換えれば、プール全体は各取引後に損失を経験します。
1、3 伝統的思考
一見すると、この状況下でUniswap LPになることは高価な間違いのように思えます。
マーケットメイカーは、買い価格が売り価格よりも低くなることを要求するため、資産価格が動かない場合、彼らは直接利益を得ます。彼らが得る買いと売りの量は大体バランスが取れています。これらの取引は通常「無知の取引」と呼ばれ、短期的な価格動向とは無関係です。
一方で、マーケットメイカーは価格が下がる前に資産を買ったり、価格が上がる前に売ったりすると損失を被ります。したがって、マーケットメイカーが最も恐れる取引相手の一つはアービトラージャーであり、彼らは価格が変動したときにのみ取引を行い、マーケットメイカーを置き去りにします。アービトラージャーが実行する各取引は、彼らにとっては純利益ですが、マーケットメイカーにとっては純損失です。
私たちのUniswap問題設定には無知の取引がないため（実際には、すべての取引がアービトラージ取引であると仮定しています）、LPは明らかに非常に大きな損失を経験します。
1、4 課題
しかし、DanとCharlieはこの話がここで終わるわけではないと考えています。
彼らは、特定の潜在的な価格ダイナミクスにおいて、Uniswap LPになることが依然として意味があるのではないかと疑問を持っています。
彼らはこの問題を数学的金融の伝説的な人物であるSteven Shreveに投げかけ、その後Twitterでこの問題を公表しました。Martin Tassyと私は独立して部分的な解決策を提案し、その後、完全な解決策を一般的なケースに拡張するために協力しました。
その後の数週間、私たち4人はテレグラムを通じて結果を議論し、誤りを探し、直感を構築するために時間を費やしました。そして、これらの議論がこの記事の基礎となっています。
二、解決策
もしある資産のボラティリティがその平均リターンに対して十分に高い場合、時間が経つにつれて、Uniswap上のLPはHODLerよりも良いパフォーマンスを発揮します。これは、すべての取引がアービトラージ取引である場合でもです。
これは「ボラティリティ収穫」と呼ばれる現象によるものです：特定の条件下で、2つの資産を定期的に再バランスすることによって、それらのパフォーマンスが静的なポートフォリオを超える可能性があります。この場合、「再バランス」とは、各資産の総資産の組み合わせの価値の比率を固定された構成（例えば50/50）に戻すために取引を行うことを指します。
したがって、LPがアービトラージされると、彼らは基本的に市場に対して手数料を支払ってポートフォリオを再バランスすることになります。この特定の数学的環境では、この再バランスが有益な場合はできるだけ多く行うべきです。これは、流動性提供者が手数料を可能な限り低く設定すべきであることを意味しますが、ゼロにはしてはいけません。
これはUniswapにとって良いニュースです。なぜなら、アービトラージ取引が支配的な状況でも、低い手数料を享受できることを意味し、これによりUniswapはオンチェーンの注文が増加し、より小さなスプレッドを提供し始める際に競争力を維持できるからです。
言い換えれば、これらの結果は非常に特殊なプログラム化された数学的設定に適用されることを繰り返し強調する価値があります。その中での仮定は、Black-Scholesオプション価格モデルに非常に似ています。数学的な便宜のために、私たちはUniswapの運用で使用される手数料構造とは異なるものを仮定しました。
2、1 対照基準
私たちは、異なる戦略の漸進的な富の成長率を比較することによって評価します。これらの成長率は、長期的に価値を複利（または損失）する速度を測定します。
この数値は非常に重要です。なぜなら、時間が経つにつれて、それを最適化する戦略はほぼ不確実な戦略よりも優れた成果を上げるからです。
私たちはすべての戦略を「未バランスのポートフォリオ」と比較します。このポートフォリオの半分の価値は安定したコインであり、もう半分はリスク資産であり、その後は決して変わりません。これはAMMにおける「無常損失」と呼ばれるコミュニティ基準を測定するものでもあります。
何が起こっても、未バランスのポートフォリオは常に同じ量の安定したコインを保持します。これは、最悪のシナリオでは、リスク資産がその全価値を失った場合、未バランスのポートフォリオはほぼ完全に安定したコインで構成されることを意味します。したがって、長期的には成長率はゼロになります。
一方で、リスク資産が指数的に成長する場合、それはすぐに未バランスのポートフォリオの主導的な存在となり、その成長率はリスク資産と同じになります。
注目すべきは、2つのポートフォリオが同じ漸進的な富の成長率を共有することができる一方で、近接したパフォーマンスは全く異なる場合があることです。たとえば、リスク資産の成長率がゼロである場合、ゼロ手数料のUniswapの持分の価値は常に未バランスのポートフォリオよりも低くなりますが、時間が経つにつれて、両者が複利成長または損失をしないと予想されるため、両者の富の成長率はゼロになります。
2、2 ボラティリティ抵抗（Volatility Drag）
50%の損失/75%の利益プロセスにおけるボラティリティ抵抗（出典）。 これらの結果を理解するためには、まずボラティリティ抵抗（volatility drag）の概念を理解する必要があります。私たちのリスク資産が、価格が毎年50%下落するか75%上昇するかのいずれかであり、両者が発生する確率が等しいと仮定します。
どの年でも、私たちがその資産に100ドル投資した場合、期待値は（50+175）/2=112.5ドルです。単に買って保持するだけであれば、私たちのポートフォリオの期待価値は年々12.5%増加し、これは良い取引のように思えます。
不幸なことに、現実の世界では、私たちの利益は実現されません。その証券を購入して保持すると、最終的にはすべてを失うことになります。
これは、時間が経つにつれて、富の複利が壊滅的な損失をもたらすからです。
もし私たちが1年で50%を失い、次の年に75%増加した場合、最終的に私たちが持っているのは投入時の87.5%（すなわち50% * 175%）だけです。
時間が経つにつれて、大数の法則は私たちのリターンを毎年 -15% に保証し、私たちは避けられない破産に至ります。
2、3 さて、何が起こったのか？
もしあなたが期待値の観点からギャンブルを分析する訓練を受けているなら、前のセクションは非常に奇妙に見えるか、完全に不正確に思えるかもしれません。
実際、1週間以上前に、私たちはこの問題の完全で閉じた数学的解を得ましたが、その前は直感的にそれが何を意味するのか全く分かりませんでした。
根本的には、期待値は理論的な量であり、無数の平行宇宙で与えられたゲームを同時に複製した場合に何が起こるかを測定します。
しかし、現実はそうではありません。各ゲームには一度だけの機会があり、私たちが行うゲームの効果は瞬時のものではなく、時間が経つにつれて複利的に影響を与えます。
別の視点から見ることで、数学を調和させる助けになります。私たちが（-50%/ + 75%）のゲームを繰り返すにつれて、資金を再投資し続けると、正しいパスはごくわずかであり、天文学的なリターンを生み出します。
時間が経つにつれて、これらのパスがすべての可能なパスの中で占める割合はますます小さくなり、私たちが実際にそのパスの1つが実現する機会もゼロに近づきます。
2、4 再バランスの価値
ボラティリティ抵抗に直面しても、期待値が正である場合でも、一部の資金を蓄えておくべきです。そうすることで、問題が発生したときに損失を軽減し、長期的には複利的な富を増加させることができます。
取引に関しては、これらすべてがいくつかの非常に馴染みのある概念を生み出します。価格が上昇するとき、時には部分的にポジションを決済して利益を確保し、価格が再び下がるのを防ぎます。価格が下がるとき、時には有利な価格で将来の期待リターンを得るために底を打つことが意味を持ちます。
特定の状況、例えば今回のように、最適な戦略はポートフォリオを継続的に再バランスすることであり、そうすることで各ポジションに常に固定比率の富を投資することになります。たとえば、半分が安定したコイン、半分がリスク資産です。これは常に最適なバランスではありませんが、一般的には、ポートフォリオ内のリスク資産が多いほど、そのリターンはボラティリティに対して高くなることを望みますが、さらなる探求は将来の作業に延期します。
長期的な富の成長を再バランスすることの利点は非常に大きい可能性があり、指数的な富の成長と破産の違いを意味するかもしれません。私たちが設定した背景の下では、各再バランス取引の価格が非常に不利であり、瞬時の損失をもたらすことも事実です。
2、5 リソース
これらの説明に満足していないかもしれませんし、もっと知りたいと思うかもしれません。
まず、ケリー基準を振り返ってみてください。これはこれらの原則に基づく理論的に最適なベッティング戦略です。@wpoundstoneの『富の公式』は、ケリー基準の歴史と意味についての評価の高い読みやすい本です。
一方で、富の成長の数学に関する深い研究として、私は@olebpetersの遍歴的経済学の講義ノートや彼が『ネイチャー』に発表した記事を強くお勧めします。
もし自分で研究することを選ぶなら、注意が必要です。これはあまり知られていない分野であり、私自身の研究過程で、多くの資料に誤りがあり、私の理解を数時間または数日遅らせました。
特に、誰かが平均回帰や対数効用関数を呼びかけているのを見たら、立ち止まらずに進んでください。この分野の重要な結果は、特定のリターン分布や効用関数を仮定する必要はありません。
2、6 手数料の錬金術
この設定において、いつLPになることが有益であり、LPは最小のコストで再バランスを促進するためにできるだけ頻繁に再バランスを行うべきでしょうか？
（手数料は可能な限り低く、ゼロであってはならず、微小な価格変動によって再バランスを引き起こすべきです。Dan Robinsonはこれを「量子泡の中でペニーを拾う」と呼んでいます。）
しかし、手数料が完全にゼロである場合、再バランスのすべての利点は消失し、ほとんどの場合、LPの状況は単に未バランスのポートフォリオを保持している場合よりも悪化します。
この一見逆説的な現象を理解することは、問題の残りの部分を明らかにするのに役立ちます。
Uniswapは「定常積」不変量を使用しており、これは手数料を徴収しない場合、各取引が準備金の残高の積を一定に保たなければならないことを意味します。これを
と表現しますが、Uniswapに慣れた読者は、これをx*y = kと表記する方が一般的かもしれません。
しかし、再バランスを実現するためには、この積Cの数値を増加させる必要があり、これにより超過の富の成長を提供します。
なぜCがそれほど重要なのか？私たちは
を、私たちの準備金残高RaとRbの幾何平均と呼びます。算術平均と同様に、幾何平均は準備量が増加するにつれて増加します。しかし、算術平均とは異なり、幾何平均は準備量が不均衡になるにつれて縮小します。たとえそれらの算術平均が変わらなくてもです。
手数料を徴収しない場合、Cは一定であり、したがって取引は常により大きな準備金またはよりバランスの取れた準備金をもたらします。この2つは同時に存在することはなく、したがって、富の成長には動機がありません。
しかし、現実世界のUniswapや私たちの設定された環境では、非ゼロの手数料が保証され、各取引でCが増加します。時間が経つにつれて、これは準備金が増加するだけでなく、バランスを保つことを意味し、これにより上記で議論した利点が提供されます。
これがどのように計算されるかの正確な数学については、Martinと私の証明論文の3.1部分を参照してください。
三、数学
これまでの説明を踏まえ、私たちは今、Charlieの最初の問題の声明に正確に答えることができます。
再確認すると、彼らが注目しているのは、UniswapスタイルのAMMの富の成長率Gであり、ここでのパーセンテージ手数料
が安定したコインとボラティリティのある資産（幾何ブラウン運動のボラティリティを持ち、パラメータ
のドリフトと
のボラティリティ）間の市場に影響を与えます。
3、1 LPの富の成長率
3、2 最適な手数料と超過リターン
LPが安定したコインとリスク資産を半分ずつ保有することによる利益が、単に資産を保持することを上回るのは、以下の条件が満たされる場合に限ります：
この場合、LPは手数料を可能な限り低く設定すべきですが、ゼロにはしてはいけません。そうすることで、彼らは富の成長率を
に徐々に近づけることができます。
3、3 説明
幾何ブラウン運動は複利成長をシミュレートするため、ボラティリティ抵抗の影響を受けます。これは数学的に
として表され、富の成長率は次のようになります：
これは、
の範囲内で、UniswapのLPになることが、
のHODLの成長率よりも意味があることを示しています。
これは、再バランスが基礎資産のボラティリティ抵抗を部分的に相殺することを可能にするという観察結果の視点を提供します。ボラティリティ抵抗がなければ、平均リターンもゼロまたは負であるため、再バランスの量は無意味になります。再バランス後のポートフォリオは、単に資産を保持するよりも良い結果を出すことができますが、私たちは安定したコインを保持する方が良いでしょう。
一方で、ボラティリティ抵抗のない平均リターンが正である場合：
ボラティリティ抵抗が資産の損失をその平均対数リターンの200%を超える場合、Uniswapでの再バランスは十分な抵抗を取り除くことができないため、安定したコインを保持する方が良いでしょう。
ボラティリティ抵抗が資産の損失をその平均対数リターンの66%未満に抑える場合、Uniswapでの再バランスは価値がなく、単に資産を保持する方が良いでしょう。
この範囲内で、UniswapのLPになることは最終的にあなたを富ませることになり、実際には安定したコインとリスク資産からなる未バランスのポートフォリオを保持するよりも富を得ることになります。これには、最終的に無価値になる資産も含まれ、放物線的に成長する資産も含まれます。
3、4 証明
完全な証明に関するプレプリント論文はこちらで見つけることができます。その動作原理は、離散的なランダムウォークのダイナミクスモデルを構築し、ステップサイズをゼロに縮小する際の行動制限を取ることです。
また、ゼロ対数ドリフトのケースに対する私の元の証明を確認し、こちらでいくつかの問題シミュレーションを行うことができます。
3、5 これらの研究結果にどれだけの信頼を置くべきか？
私個人の見解では、これは非常に信頼できるものです。
私たちは2つの独立した証明方法を持ち、それらが重なる領域で同じ結果を生み出します。また、私たちの予測を検証するためのいくつかのシミュレーションもあります：
シミュレーションと予測の富の成長率（出典）。 それにもかかわらず、これは非常に混乱を招く分野であり、過去数週間で私の理解は何度も変化しました。もしあなたが本当に誤りを見つけた場合は、遠慮なく私たちに連絡してください。
四、未来の仕事
私たちは、これらの研究結果が理論的に興味深い（あるいは狂気じみている）ことに同意していただけることを望んでいますが、現実世界との関連性を確認するためにはまだ多くの作業が残っています。
たとえば、私たちの多くの仮定は修正または拡張することができます：
これらの結果を多資産ケースにどのように適用するか、またはLPがBalancerのような50/50以外の比率を選択して再バランスするのはいつか？
各単位時間で無限の取引を許可しない場合、何が起こるか？
取引コストを導入した場合、優先ガスオークションのダイナミクスを反映するために変化する可能性がある場合、どうなるか？ いくつかの実証的な問題もあります：
今日の市場での証券取引に対してこれらのパラメータを推定できますか？
どれだけの積極的に取引されているトークンが、私たちが説明したこの再バランス戦略から利益を得ることができますか？
ボラティリティ収益によって現実にUniswap LPリターンを実現する割合を特定できますか？ 最後に、最も興味深いかもしれないのは、私たちがここで学んだ知識を既存のプロトコルの改善にどのように活用できるか、新しいプロトコルを作成するか、あるいは全体としてDeFiエコシステムを発展させるかということです。
五、私たちと一緒に議論しましょう
何か質問がありますか？アイデアは？潜在的な応用は？
私たちはあなたの声を聞きたいです。
@charlienoyes ● @danrobinson ● @Dave_White ● @MartinTassy
Vitalik Buterin、Matt Huang、Georgios Konstantopoulos、Alex Evansに感謝します。この文書に対する意見をいただきました。
