一般的なAMMモデルの原理を深く理解する：なぜそれがDeFiオプション価格設定に適さないのか？
Uniswapのようなモデルを使用してオプションの価格を設定することは、流動性提供者にとって最良の選択ではないかもしれません。この記事はGyro Financeに掲載され、著者：Aerhy、翻訳：アグア。
重要ポイント：
- オプションの価格設定は、さまざまな要因（満期時間やインプライドボラティリティなど）に依存し、ほとんどの場合、ゼロになることが多い（行使されていないか、行使価格が条件に合わないことを指す）。
- 一般的なAMM（Uniswapなど）の価格発見メカニズムは通常、取引量に依存しており、流動性市場では資産の価格は市場の力によって決定されるべきです。しかし、この記事が公開された時点では、DeFiオプション市場はまだ発展途上であり、オプションは頻繁に更新されない可能性があり、これが価格を時代遅れにし、オプションプールの流動性提供者に大きなインパーマネントロスをもたらすことがあります。
- この記事では、Uniswap v1の背後にある数学的原理を探求し、オプショントークンの取引所として使用することが最適ではない可能性があると結論付けています。
一般的なAMMとインパーマネントロス
一般的なAMM、例えばUniswap v1およびv2は、DeFiにおける最も重要な構成要素の一つです。
そのモデルは価格発見とマーケットメイキングを組み合わせることができ、流動性が最も低い資産でさえも市場と発展を持つことができます。
それは異なる参加者が売り手、買い手、流動性提供者として参加することを奨励するインセンティブメカニズムを巧妙に設計しています。実際、流動性提供者はシステム内で重要な役割を果たす参加者です。これは伝統的なマーケットメイカーの抽象的な形のように感じられます。この類似性の背後にある理由は、AMMは継続的な帳簿管理や注文執行を必要とせず、ユーザーが資金を取引できるからです。ある人々は、そうでないユーザーは同じビジネスを実行していないと言うかもしれません。しかし、根本的には、二人の参加者（Uniswapの流動性提供者と伝統的金融のマーケットメイカー）は、どちらも市場を導く役割を果たしています。
現在、流動性提供者は資金プールの両側に等量の資金を流動性として追加し、その見返りとして、資金プール内で発生するすべての取引の手数料を受け取り、自分の投資元本を取り戻すことを期待しています。
DeFiでは、一部のユーザーは流動性提供の活動を「受動的収入投資」と理解しており、資産を提供し、資金の金額を保持し、初期元本に比例した手数料を受け取ることを期待しています。これは安定した資産のプール（例えばDAI:USDC）には正しいかもしれませんが、特定のシナリオでのボラティリティ資産のプール（例えばUSDC:ETH）には完全には当てはまりません。
インパーマネントロス（IL）と呼ばれる現象があり、これはボラティリティ資産に対してUniswapの流動性を追加することが、二つの資産を単に保持することと比較して負のリターンをもたらすことを指します。
これは、受動的収入を求める流動性提供者の収益性が悪影響を受ける状況を説明しています。追加されたトークンの価格が流動性プールに追加されたときの価格に最終的に戻る場合、インパーマネントロスは存在しないか、非常に小さいです。しかし、価格状況が最初の価格状況と異なる場合、資産を保持する場合と比較して引き出される金額は後者の合計を下回る可能性があります。
これは、流動性提供者（LP）が最初に使用された価格状況と異なる状況で流動性を取り除くときにのみインパーマネントロスが発生することを意味します。取り除かずに、より良い機会を待って撤退すれば、損失は発生しません（インパーマネントロス）。対照的に、伝統的金融では、これは「永続的な先物ポジションを売る」と考えることができます。永続的である理由は、このポジションに満期日がなく、LPはどれだけ長く持つかを選べるからです。
これは、市場が変動する中で、LPがその入場時の価格レベルで流動性を取り除くと、LPはこの期間中に手数料から利益を得ることができ、インパーマネントロスを被ることはありません。
ある人々は、取引手数料が損失を補うことを期待しているかもしれません。これは起こる可能性がありますが、ある程度に限られ、撤退時の価格や流動性提供期間中にプール内の流動性がどれだけ高かったか、どれだけの取引が発生したかに依存します。したがって、流動性提供者にとって最も利益を上げる組み合わせは、資産が変動せず、毎日多くの取引が行われるプールです。同時に、市場が資産の価格を定義し、Uniswap内のトークン価格が市場価格と乖離するたびに、アービトラージャーがそのアービトラージ機会を利用し、Uniswapで取引を行い、Uniswapの価格をトークンの市場価格に近づける手助けをすることを考慮する必要があります。
シミュレーション収益
Uniswap v2での流動性提供活動の収益を分析するためには、以下の変数を考慮する必要があります：
• 流動性を提供する時点での取引ペアの現物価格
• 撤退時の取引ペアの現物価格
• プール内の取引量
• プール内の資産量
• 取引から生じる手数料の総額はLPに分配されます
定数
constant_product (k)因子は、取引の価格設定に使用される方法であり、プールの両側の価値のバランスを保ちます。手数料を無視すると、係数の計算方法は次のとおりです：
価格設定
Uniswapは、流動性プール内の各資産の取引価値を定義するために以下の価格設定公式を使用します。
公式1と2を組み合わせると、最終的に以下の結果が得られます：
強調すべきは、別のLPがプールに流動性を追加する前に、定数が取引の資産価格設定に使用されることです。この状況が発生すると、定数は新しいプールの残高に応じて更新され、以降の取引の価格設定に使用されます。
例えば：
初期プールには100 ETHと10,000 DAIがあります。したがって、constant_product (k) = 100 * 10,000 = 1,000,000です。
もし1日後、ジョンが2 ETHと2,000 DAIでプールに流動性を追加することを決定した場合（プール内に取引はありません）、流動性プールの両側が増加したため、定数を更新する必要があります。したがって、新しいconstant_product (k)は次の取引の価格設定に使用されます：k = (100 + 2) * (10,000 + 2,000) = 102 * 12,000 = 1,224,000です。
UniswapのAMMは、流動性提供者が各取引ペアの充填において50/50の比率を維持することを要求しているため、公式2は資産の価格設定が各プールで発生する取引量に依存することを決定します。これは、プール内で取引が発生しない場合（プール内での唯一の活動は流動性提供です）、eth_priceがプール作成時と同じままであることを意味します。言い換えれば、取引活動がある場合にのみ価格が更新されます。
流動性を追加すると、資産の価格設定はプールから1つの資産を購入しようとする際の価格設定とはいくつか異なります。以下の状況を見てみましょう。
例えば、ロブがETH:DAIのプールに流動性を追加したいと仮定します。彼は1 ETHを追加したいのですが、いくらのDAIトークンを提供する必要がありますか？現在のプール残高は95 ETHと10,529.49 DAIです。公式5に従って、彼が提供する必要があるトークンの数 = 1 * (10,529 / 95) = 110.87 DAIです。
流動性を提供した後、新しい資金プールの残高は次のようになります：
95 + 1 ETH = 96 ETH
10,529 DAI + 110.87 DAI = 10,640.36 DAI
新しいk = 96 * 10,640.36 = 1,021,169.85
流動性提供者の収益
UniswapのAMMを理解し、プールに入るトークンの初期価格と流動性を撤回する際のトークンの価格の違いを理解するためには、LPトークンという重要な概念があります。
LPトークンは、各流動性提供者がプール内にどれだけの資金を持っているかを示し、各LPはプールから生じる総手数料から相応の収益を得ることになります。
インパーマネントロス
重要な概念を紹介したので、流動性提供者がインパーマネントロスに直面するシナリオを分析してみましょう。
バビは20kの総流動性（100ETHと10,000DAI）を追加してETH:DAIプールを作成します。最初の流動性提供者として、彼女は公式6に基づいて合計1000LPを獲得します。
LPtokensamount = sqrt (100 * 10,000) - 0.00000000000000001 = 1,000LPシェア。
プール作成後に9件の取引が発生したと仮定します。nはプール作成後の各期間を指します。
以下の取引タイプを考慮します：
exactoutputx: ユーザーが任意の価格で1 ETHを購入したいとき。
exactoutputy: ユーザーが任意の数量のETHを使って1 DAIを購入したいとき。
exactinputx: ユーザーが正確なETHの数量を使って同等のDAIを購入したいとき。
exactinputy: ユーザーが正確なDAIの数量を使って同等のETHを購入したいとき。
1,000,000の製品定数(k)は、上記の取引価格設定メカニズムの主要なガイドです。これは、資金プールの各側に対する影響が何であるべきかを計算し、その取引が発生できるようにし、手数料を無視しても製品定数を維持します。では、取引が発生した後、プールの各側に対する影響を計算してみましょう。
n=1のときに発生した取引を掘り下げてみましょう。
• 初期資金プール残高 = 100 ETHと10,000 DAI
• Constant_product = 100 * 10,000 = 1,000,000
取引タイプ：exactoutputx → 取引者は正確に1 ETHを購入したい（したがって、彼はethliquiditypoolから1 ETHを削除します）。
新しいethliquiditypool = 100 - 1 = 99 ETH → さて、この新しいETHプール残高があるので、新しいDAIプール残高はどうなりますか？プールには大量のDAIトークンが流入するからです。
新しいDAIliquiditypool = constantproduct / new ethpool_balance = 1,000,000 / 99 = 10,101.01。
プール内のDAIの流入から、次のような公式を仮定できます。
eth_price = (10,101.01-10,000)/1 = 101.01 → したがって、n=1の取引で、取引者がETHを購入する価格は101.01です。
最終的な資金プール残高：99 ETHと10,101.01 DAI。
以下の表では、UniswapのAMMで発生したことを示し、1,000,000の定数製品と取引後の新しいプール残高を考慮しています。また、各取引で請求される0.3%の手数料と価格を視覚的に見ることもできます。
取引が発生した後、最終的なプールの概要は次のとおりです：
今、トム（user10Add1ETH）がn=10の時点で1 ETHの流動性を追加したいと仮定します。AMMはLPに対して両側の価値が同じであることを要求するため、トムは1 ETHの価値に相当するDAIの量を提供する必要があります。この価格は前述の公式5から取得されます。
したがって、トムは1 ETHを提供する必要があります。
DAIamountto_provide = 1 * (10,529 / 95) = 110.87 DAI
新しい流動性提供者がプールに入るため、取引価格の定数を更新する必要があります。新しいK = 96 * 10,640 = 1,021,170元です。
トムの後、他の7人のLPがプールに流動性を提供し、AMMが提供する公式5の価格設定に従い、公式7に基づいて相応のLPシェアを得ます。具体的には次のとおりです。
無常損失の分析を容易にするために、以下の情報を考慮します。
トムがプールに入ったときの初期ポジションは：1ETHと110.87DAI。
トム（user10Add1ETH）は、n = 17以降の任意の時点で彼のトークンをプールから取り除くことを決定します。
トムのプール内のLPはトムのLPトークン / totalLPtokens = 10.53/1,284.30 = 0.008199 = 0.82%です。
n = 17以降、追加の流動性提供者はプールに入らず、取引のみが発生します。
ETH:DAIプールの取引量が非常に大きいため、Uniswapの価格設定メカニズムは市場の真の価格を反映していると考えられます。アービトラージャーはアービトラージ機会を利用して価格を修正し続けます。
時間帯(n)はAMM内で価格が更新される各時間帯を表します。
彼が資産をウォレットに置き、プールから流動性を引き出すとき、彼の資金がどのように変化するかを比較してみましょう。
今、これらの各状況の違いを比較してみましょう。
Pintailのブログにあるインパーマネントロスの公式をこの状況に適用すると、次のようになります：
上記のシミュレーションから得られる結論は、ウォレットにトークンを保持するのと比較して、流動性を提供する際に実際に損失が存在するということです。プール内の残高が変化し、各トークンの価格がプール内の取引の更新に伴って変化する場合にこの現象が発生します。
強調すべきは、LP提供者がプールから彼のLPを取り除くことができるということです。この場合、トムが流動性を取り除くことを決定した瞬間、彼は現在のプールの0.8%を取り除きました。この時点で、トムが流動性を取り除こうとするプールは、流動性を追加したときのプールとは異なる可能性があり、彼の最終的な価格は彼の初期価格とは異なります。
この現象は、価格変動のグラフを描くことで観察することもできます。
手数料の影響
Uniswapは、LPがプールに参加する状況に応じて、すべての取引の0.3%をLPに分配します。したがって、プール内で発生する取引が多ければ多いほど、LPが得る受動的収入が増えます。その分配は、前述のように各LPがプール内で占める割合に基づいて行われます。
UniswapのAMMの機能は、二つの流動性プールの積を維持することであり、いわゆるconstant_productを取引前の積と同じに保つことです（手数料を除く）。したがって、インパーマネントロスが発生します。AMMは、双方の価値の重みを同じに保つ（50%/50%の比率）ための古典的な価格尺度であると言えます。
強調すべきは、Uniswap内のトークン価格はプール内で発生する取引に応じて更新され、これは大きくアービトラージャーがUniswapの価格と他の取引所を比較して有利なアービトラージ機会を見つける能力に依存しています。したがって、UniswapのAMMの価格設定は、プール内で発生する取引によって完全に決定されると言えます。
このモデルは、非ボラティリティ資産や高ボラティリティの取引プールに対しては良好な適応性を持つかもしれませんが、すべての種類の資産に適しているわけではありません。
オプションはどうなるのか？
オプションプール
DeFiオプション（ここではPodsオプションの例を挙げます）では、ユーザーはオプショントークンを鋳造するために100%の担保をロックする必要があります。オプショントークンは、買い手の権利と売り手の義務を表します。しかし、売り手が事前に担保をロックしているため、実行可能なものはなく、スマートコントラクトが売り手の義務を管理します。
オプションが鋳造された後、ユーザーはそれを売却するか、プールに流動性を提供することを選択できます。Uniswapは分散型プロトコルであるため、誰でも任意の資産ペアのプールを開始でき、ユーザーはUniswapプール内で各シリーズのオプショントークンを直接販売できます。
a) そのオプションの市場が最も流動的であると仮定すると、AMMの価格は正確であり、純粋なアービトラージの力によって、公平で最新の価格を表します。
または
b) プール価格を仲裁し、プールがオプションの価格を誤って設定している場合、ギャップを縮小する機会があります。
残念ながら、DeFiはまだ始まったばかりで、DeFiオプションもまだ始まったばかりです。これは、DeFiオプション市場が常にUniswapの価格を修正できるわけではないことを意味します。つまり、プールが長期間取引がない場合、大きなアービトラージ機会が生じることになります。これはトレーダーにとっては良いことかもしれませんが、流動性提供者にとってはあまり良くないかもしれません。
しかし、オプションの価格が誤っていることをどうやって知るのでしょうか？
オプションの価格設定
伝統的金融の価格設定スキームにはいくつかのモデルがあり、最も広く知られているのはBlack-Scholesです。Black-Scholesの公式は次のとおりです：
Black-Scholesはオプション契約の価格設定のための数学モデルであり、このモデルの仮定の一つは、資産のボラティリティがオプションの有効期限内に変わらないことです（これは特に暗号通貨においては適用されません）。この公式は欧州型オプション（および非配当資産の米国型コールオプション）にのみ適用されます。
すべての方法は、オプションの満期の確率を計算し、もし本当に満期を迎えた場合、現在の価値がいくらになるかを計算しようとします。この理論価格を計算するために、著者は基礎資産の現物価格、満期時間、インプライドボラティリティ、無リスク金利、行使価格などの要素を考慮に入れます。
オプションの満期時間は、オプションの時間価値でもあり、Black-Scholesモデルを使用する際に価格設定に影響を与える重要な要素です。
オプションが満期日が近づくほど、その内在的価値は増大します。つまり、オプションが満期日が近づくと、価値が高くなります。なぜなら、オプションが行使されて利益を得る確率が高いからです。これにより、オプションの価格設定が高くなります。オプションが満期日から遠ざかると、同じ論理が適用されます：オプションが行使される確率が低くなり、価値が無価値（ゼロ）に近づきます。以下にこの概念の詳細を示します：
満期時、オプション価格は価内または価外のいずれかになります。ほとんどの場合、オプションは最終的に価外となるため、満期時のオプションの価値はゼロです。
これは、ユーザーがオプションプールに流動性を提供し、最終的に価外である場合、ユーザーはより大きな割合のオプショントークンを引き出すことができることを意味します。その時、オプショントークンの価値はゼロかもしれません。彼らは「鋳造」されたオプションを持っておらず、引き出すことができる担保もありません。インパーマネントロスを考慮すると、この場合、取引ペアの一つの資産が満期時に無価値であることを考慮しなければなりません。
Uniswapの価格設定にこれらの要素を入力できない場合、オプションの価格はどうなるのでしょうか？
一般的なAMMのオプション取引
各トレーダーは、自分が適切だと思う方法でこれらの公式を扱います。しかし、彼らのほとんどは、オプション価格に影響を与えるすべての要素を考慮に入れたオプション価格を計算する方法を持っています。トレーダーはアービトラージの機会を見つける可能性が高いですが、流動性提供者は最終的に潜在的な誤った価格設定取引に資産を配分することで損失を被る可能性があります。
このため、Uniswapのようなモデルを使用してオプションを価格設定することは、流動性提供者にとって最良の選択ではないかもしれません。
